%ما هو (من)٪ 1 - تعريف

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

• электростатическое поле,
• стационарное поле температуры,
• поле давления,
• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

${\displaystyle \Delta \varphi =f,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа, или лапласиан, а ${\displaystyle f}$ — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ и уравнение Пуассона принимает вид:

${\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f.}$

Если ${\displaystyle f}$ стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

${\displaystyle \Delta \varphi =0.}$

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».